В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 169°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть диагональ AC = 2x, тогда AB = x. Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, то ∠ABC = 180° - ∠ACD = 180° - 169° = 11°. Рассмотрим треугольник ABC. По теореме синусов: $$\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = \frac{AB}{\sin{\angle ACB}}$$ $$\frac{2x}{\sin{11°}} = \frac{x}{\sin{\angle ACB}}$$ $$\sin{\angle ACB} = \frac{\sin{11°}}{2} \approx \frac{0.1908}{2} \approx 0.0954$$ $$\angle ACB \approx \arcsin{0.0954} \approx 5.47°$$ Тогда ∠BAC = 180° - 11° - 5.47° = 163.53°. Меньший угол между диагоналями - это угол между AC и BD. Пусть O - точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольник AOB. $$\angle AOB = 180° - \angle OAB - \angle OBA$$ $$\angle OAB = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} 163.53° = 81.765°$$ $$\angle OBA = \angle ACB = 5.47°$$ $$\angle AOB = 180° - 81.765° - 5.47° = 92.765°$$ Так как углы AOB и BOC смежные, то $$\angle BOC = 180° - \angle AOB = 180° - 92.765° = 87.235°$$ Меньший угол между диагоналями будет 87° (округлённо). Ответ: 87