18. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найди периметр параллелограмма, если АВ = 8.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим эту интересную задачу вместе. 1. Анализ условия: - ABCD - параллелограмм - \(\angle BAC = 60^\circ\) - AM - биссектриса угла A - AM \(\perp\) DM - AB = 8 - Найти периметр параллелограмма. 2. Решение: * Так как AM - биссектриса угла A, то \(\angle BAM = \angle MAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). * Поскольку AM \(\perp\) DM, то \(\angle AMD = 90^\circ\). * Рассмотрим треугольник AMD. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, \(\angle ADM = 180^\circ - \angle MAD - \angle AMD = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ\). * Рассмотрим треугольник ABM. Так как ABCD - параллелограмм, то BC || AD, а значит, \(\angle BMA = \angle MAD = 30^\circ\) (как накрест лежащие углы). * Следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, так как \(\angle BAM = \angle BMA = 30^\circ\). Отсюда, AB = BM = 8. * Поскольку \(\angle ADM = 60^\circ\) и AD || BC, то \(\angle CDM = \angle ADM \)(внутренние односторонние), следовательно, \(\angle CDM = 60^\circ\). * В треугольнике AMD, \(\angle DAM = 30\) и \(\angle ADM = 60\). Следовательно, \(\angle AMD = 90\). Так как DM \(\perp\) AM, следовательно, треугольник AMD - прямоугольный. Тогда \(\angle CDM = \angle ADM = 60\) градусам. Это значит, что треугольник MCD - равносторонний. То есть DM = MC = CD. * Так как \(\angle MAD = 30\) и \(\angle AMD = 90\), то \(AD = 2 \cdot MD\). * Из того, что \(\angle CDM = 60\) и CD = DM, следует, что треугольник CDM - равносторонний, а значит DM=CD=MC. * Так как AD = BC, и BC = BM + MC, то AD = BM + MC = 8 + MC. * Но AD = 2MC. Тогда 2MC = 8+MC. То есть MC = 8, и DM = CD = MC = 8. * AD = BC = BM + MC = 8 + 8 = 16. * Периметр параллелограмма равен P = 2(AB + AD) = 2(8 + 16) = 2 * 24 = 48. 3. Ответ: Периметр параллелограмма ABCD равен 48.