5. В параллелограмме ABCD ∠ADC=150°, AD=16см, DC=12см, прямая SC перпендикулярна плоскости ABC, SC=18см. Найти величину двугранного угла с ребром AD и площадь параллелограмма.

Давай разберем эту задачу по геометрии. Начнем с нахождения площади параллелограмма, а затем перейдем к двугранному углу.

Площадь параллелограмма ABCD можно найти по формуле:

\[S_{ABCD} = AD \cdot DC \cdot \sin(\angle ADC)\]

Мы знаем, что AD = 16 см, DC = 12 см, и \(\angle ADC = 150^\circ\). Тогда:

\[S_{ABCD} = 16 \cdot 12 \cdot \sin(150^\circ)\]

Так как \(\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), то:

\[S_{ABCD} = 16 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 8 \cdot 12 = 96 \text{ см}^2\]

Теперь перейдем к нахождению двугранного угла с ребром AD. Поскольку SC перпендикулярна плоскости ABC, то плоскость SCD также перпендикулярна плоскости ABC. Угол между плоскостью SCD и плоскостью ABCD и есть искомый двугранный угол.

Проведем высоту CE к стороне AD. Тогда CE является перпендикуляром к AD, и угол SCE будет линейным углом двугранного угла. Обозначим его как \(\theta\).

В прямоугольном треугольнике SCE:

\[\tan(\theta) = \frac{SC}{CE}\]

Нам нужно найти CE. CE - это высота параллелограмма, опущенная на сторону AD. Мы знаем, что площадь параллелограмма равна 96 см², и AD = 16 см. Тогда:

\[S_{ABCD} = AD \cdot CE\]

\[96 = 16 \cdot CE\]

\[CE = \frac{96}{16} = 6 \text{ см}\]

Теперь мы знаем CE = 6 см и SC = 18 см. Тогда:

\[\tan(\theta) = \frac{18}{6} = 3\]

\[\theta = \arctan(3)\]

Чтобы найти значение в градусах, можно воспользоваться калькулятором или таблицей значений арктангенса. Приблизительно, \(\theta \approx 71.57^\circ\).

Ответ: Площадь параллелограмма равна 96 см², величина двугранного угла с ребром AD равна \(\arctan(3)\) или приблизительно 71.57°.

Замечательно! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!