3. ABCD - прямоугольник, его площадь 48 см², DC=4см, прямая OS перпендикулярна плоскости ABC, OS=6см. Найти величину двугранного угла с ребром DC.

Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам нужно найти величину двугранного угла с ребром DC.

Сначала найдем сторону AD прямоугольника ABCD, зная его площадь и сторону DC:

\[S_{ABCD} = DC \cdot AD\]

\[48 = 4 \cdot AD\]

\[AD = \frac{48}{4} = 12 \text{ см}\]

Так как OS перпендикулярна плоскости ABC, то треугольник OSD является прямоугольным. Угол ODS и есть линейный угол двугранного угла с ребром DC. Обозначим его как \(\theta\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ODS. Мы знаем OS = 6 см и AD = 12 см. Так как ABCD - прямоугольник, то AD = BC. Значит, SD - это своего рода высота, опущенная из точки S на сторону DC.

Найдем угол \(\theta\) с помощью тангенса:

\[\tan(\theta) = \frac{OS}{DS}\]

В нашем случае DS = AD, так как OS перпендикулярна плоскости ABC, и мы можем рассматривать треугольник ODS как прямоугольный, где OD - гипотенуза, OS и DS - катеты.

\[\tan(\theta) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]

Теперь найдем угол \(\theta\), взяв арктангенс от \(\frac{1}{2}\):

\[\theta = \arctan(\frac{1}{2})\]

Чтобы найти значение в градусах, можно воспользоваться калькулятором или таблицей значений арктангенса. Приблизительно, \(\theta \approx 26.57^\circ\).

Ответ: Величина двугранного угла с ребром DC равна \(\arctan(\frac{1}{2})\) или приблизительно 26.57°.

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!