В8. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с острым углом 60° и катетом, прилежащим к этому углу, равным 9 см. Высота призмы равна 10 см. Найдите: а) объём призмы; б) площадь полной поверхности призмы.

a) Найдем второй катет треугольника. Пусть $$a = 9 ext{ см}$$ - прилежащий катет, $$b$$ - противолежащий катет. Тогда $$ an{60^{circ}} = rac{b}{a}$$, откуда $$b = a cdot an{60^{circ}} = 9 cdot sqrt{3} ext{ см}$$.

Площадь основания призмы: $$S_{осн} = rac{1}{2} cdot a cdot b = rac{1}{2} cdot 9 cdot 9sqrt{3} = rac{81sqrt{3}}{2} ext{ см}^2$$.

Объем призмы: $$V = S_{осн} cdot h = rac{81sqrt{3}}{2} cdot 10 = 405sqrt{3} ext{ см}^3$$.

б) Площадь полной поверхности призмы: $$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$$.

Найдем гипотенузу треугольника: $$c = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{9^2 + (9sqrt{3})^2} = sqrt{81 + 81 cdot 3} = sqrt{81 cdot 4} = 9 cdot 2 = 18 ext{ см}$$.

Площадь боковой поверхности призмы: $$S_{бок} = P cdot h = (a + b + c) cdot h = (9 + 9sqrt{3} + 18) cdot 10 = (27 + 9sqrt{3}) cdot 10 = 270 + 90sqrt{3} ext{ см}^2$$.

Площадь полной поверхности призмы: $$S_{полн} = 2 cdot rac{81sqrt{3}}{2} + 270 + 90sqrt{3} = 81sqrt{3} + 270 + 90sqrt{3} = 270 + 171sqrt{3} ext{ см}^2$$.

Ответ: а) $$405sqrt{3} ext{ см}^3$$; б) $$(270 + 171sqrt{3}) ext{ см}^2$$