В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол АВО равен 80°. Найдите величину угла ODC.

Решение:

1. Треугольник ABO равнобедренный, так как OA = OB (радиусы). Следовательно, \( \angle OAB = \angle OBA = 80° \).

2. Сумма углов в треугольнике ABO равна 180°. Найдем \( \angle AOB \): \( \angle AOB = 180° - (80° + 80°) = 180° - 160° = 20° \).

3. Угол BOC является смежным с углом AOB. \( \angle BOC = 180° - \angle AOB = 180° - 20° = 160° \).

4. Треугольник BOC равнобедренный, так как OB = OC (радиусы). Углы при основании равны: \( \angle OBC = \angle OCB = \frac{180° - 160°}{2} = \frac{20°}{2} = 10° \).

5. Угол ODC является углом при основании равнобедренного треугольника ODC (OD = OC). Угол DOC равен углу AOB как вертикальные углы. \( \angle DOC = \angle AOB = 20° \).

6. Найдем \( \angle ODC \) в равнобедренном треугольнике ODC:

\[ \angle ODC = \angle OCD = \frac{180° - \angle DOC}{2} = \frac{180° - 20°}{2} = \frac{160°}{2} = 80° \]

Ответ: 80°