4. В окружности с центром в точке M провели диаметр RN и хорду NP так, что угол \(\angle RNP = 96^{\circ}\). Найдите градусную меру угла \(\angle MNP\).

Дано: Окружность с центром M, RN - диаметр, NP - хорда, \(\angle RNP = 96^{\circ}\). Найти: \(\angle MNP\). Решение: 1. Так как RN - диаметр, то \(\angle RPN\) - вписанный угол, опирающийся на диаметр, следовательно, \(\angle RPN = 90^{\circ}\). 2. Рассмотрим треугольник \(\triangle RNP\). Сумма углов в треугольнике равна 180^{\circ}, поэтому \(\angle PRN = 180^{\circ} - \angle RNP - \angle RPN = 180^{\circ} - 96^{\circ} - 90^{\circ} = -6^{\circ}\). Произошла ошибка в условии, угол RNP не может быть 96, так как тогда сумма углов будет больше 180 градусов. Если предположить что угол равен 26 градусам, тогда \(\angle PRN = 180^{\circ} - \angle RNP - \angle RPN = 180^{\circ} - 26^{\circ} - 90^{\circ} = 64^{\circ}\). 3. Так как M - центр окружности, то MN = MP как радиусы. Значит, \(\triangle MNP\) - равнобедренный с основанием NP. Следовательно, \(\angle MNP = \angle PRN = 64^{\circ}\). Ответ: \(\angle MNP = 64^{\circ}\) (при условии, что \(\angle RNP = 26^{\circ}\). В противном случае, задача не имеет решения, если угол 96 градусов.)