317. В классе поровну юношей и девушек. Средний рост девушек - 166,3 см, а дисперсия роста для девушек - 8,5 см². Средний рост юношей равен 177,6 см, а дисперсия равна 9,6 см². Найдите средний рост и дисперсию роста всех учеников в классе. Средний рост округлите до десятых, а дисперсию до сотых.

1. Найдем средний рост всех учеников:

Так как юношей и девушек поровну, средний рост всех учеников можно найти как среднее арифметическое среднего роста юношей и среднего роста девушек:

$$ \text{Средний рост} = \frac{166.3 + 177.6}{2} = \frac{343.9}{2} = 171.95 \approx 172.0 \text{ см} $$

2. Найдем дисперсию роста всех учеников:

Для начала найдем общую дисперсию:

$$ \text{Дисперсия общая} = \frac{\text{Дисперсия девушек} + \text{Дисперсия юношей}}{2} = \frac{8.5 + 9.6}{2} = \frac{18.1}{2} = 9.05 $$

Теперь нужно учесть разницу между средним ростом каждой группы и общим средним ростом. Для этого воспользуемся формулой полной дисперсии:

$$ D = \frac{1}{2}(D_1 + (x_1 - x)^2) + \frac{1}{2}(D_2 + (x_2 - x)^2)$$

Где:

• (D_1) - дисперсия роста девушек, (D_1 = 8.5)
• (D_2) - дисперсия роста юношей, (D_2 = 9.6)
• (x_1) - средний рост девушек, (x_1 = 166.3)
• (x_2) - средний рост юношей, (x_2 = 177.6)
• (x) - средний рост всех учеников, (x = 171.95)

Подставляем значения:

$$ D = \frac{1}{2}(8.5 + (166.3 - 171.95)^2) + \frac{1}{2}(9.6 + (177.6 - 171.95)^2) $$ $$ D = \frac{1}{2}(8.5 + (-5.65)^2) + \frac{1}{2}(9.6 + (5.65)^2) $$ $$ D = \frac{1}{2}(8.5 + 31.9225) + \frac{1}{2}(9.6 + 31.9225) $$ $$ D = \frac{1}{2}(40.4225) + \frac{1}{2}(41.5225) $$ $$ D = 20.21125 + 20.76125 = 40.9725 \approx 40.97 $$

Ответ:

• Средний рост всех учеников: 172.0 см
• Дисперсия роста всех учеников: 40.97 см²