В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение:

Всего монет: \( 2 + 4 = 6 \).

Выбираем 3 монеты из 6. Общее число исходов (способов выбрать 3 монеты):

\[ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]

Пятирублевые монеты лежат в разных карманах. Это означает, что в переложенных 3 монетах либо нет пятирублевых монет, либо одна пятирублевая монета, либо обе пятирублевые монеты. Условие «пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах» означает, что в исходном кармане (где осталось 3 монеты) не может быть обеих пятирублевых монет, а в другом кармане (куда переложили 3 монеты) не может быть обеих пятирублевых монет. Это не совсем корректная трактовка.

Переформулируем условие: «вероятность того, что пятирублевые монеты окажутся в разных карманах». Это значит, что одна пятирублевая монета останется в первом кармане, а другая будет переложена во второй карман.

Рассмотрим два случая:

1. Обе пятирублевые монеты остались в первом кармане. Это означает, что из переложенных 3 монет 0 пятирублевых монет и 3 десятирублевые. Это невозможно, так как у нас только 2 пятирублевые монеты, и если обе остались, то во втором кармане их 0.


2. Одна пятирублевая монета осталась в первом кармане, а другая переложена во второй.

Тогда в переложенных 3 монетах будет 1 пятирублевая монета и 2 десятирублевые монеты.

Число способов выбрать 1 пятирублевую монету из 2: \( C_2^1 = 2 \).

Число способов выбрать 2 десятирублевые монеты из 4: \( C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \).

Число благоприятных исходов (когда в переложенных 3 монетах 1 пятирублевая и 2 десятирублевые):

\[ C_2^1 \times C_4^2 = 2 \times 6 = 12 \]

Вероятность этого события:

\[ P(\text{1 пятирублевая, 2 десятирублевые}) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0.6 \]

Другая трактовка: