В группе 20 детей, из них 5 девочек, а остальные мальчики. Случайным образом из группы выбирают двух человек. Какова вероятность того, что будут выбраны оба мальчика?

Привет! Давай посчитаем эту задачку по комбинаторике и теории вероятностей.

1. Определим общее количество детей и мальчиков:

• Всего детей в группе: 20
• Девочек: 5
• Мальчиков: 20 - 5 = 15

2. Найдем общее количество способов выбрать двух человек из группы:

Это задача на сочетания, так как порядок выбора детей не важен. Общее число способов выбрать 2 человека из 20 равно:

$$ C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 10 \times 19 = 190 $$

Итак, существует 190 различных пар детей, которых можно выбрать.

3. Найдем количество способов выбрать двух мальчиков из группы:

У нас 15 мальчиков, и нам нужно выбрать из них двоих. Количество способов будет:

$$ C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2!13!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 15 \times 7 = 105 $$

Таким образом, есть 105 способов выбрать двух мальчиков.

4. Рассчитаем вероятность:

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов (выбрать двух мальчиков) к общему числу исходов (выбрать любых двух детей).

$$ P(\text{оба мальчика}) = \frac{\text{Число способов выбрать 2 мальчиков}}{\text{Общее число способов выбрать 2 детей}} = \frac{105}{190} $$

Теперь упростим дробь. Оба числа делятся на 5:

105 : 5 = 21

190 : 5 = 38

Получаем дробь 21/38.

Ответ: \(\frac{21}{38}\)