в) f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x, [-4;3]

Привет! Давай найдем наибольшее и наименьшее значения функции на интервале.

Анализ функции:

• Функция: $$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x$$
• Интервал: $$[-4; 3]$$

Чтобы найти экстремумы на заданном интервале, нам нужно:

1. Найти производную функции.
2. Приравнять производную к нулю и найти критические точки.
3. Проверить значения функции в критических точках, попавших в интервал, и на концах интервала.

Шаг 1: Находим производную

Производная от $$2x^3$$ это $$6x^2$$.

Производная от $$3x^2$$ это $$6x$$.

Производная от $$-36x$$ это $$-36$$.

Итак, производная $$f'(x)$$ будет:

\[ f'(x) = 6x^2 + 6x - 36 \]

Шаг 2: Находим критические точки

Приравниваем производную к нулю:

\[ 6x^2 + 6x - 36 = 0 \]

Разделим все на $$6$$ для упрощения:

\[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант или по теореме Виета.

По теореме Виета: сумма корней равна $$-1$$, произведение корней равно $$-6$$. Корни: $$2$$ и $$-3$$.

Итак, критические точки: $$x_1 = 2, x_2 = -3$$.

Шаг 3: Проверяем точки на интервале [-4; 3]

Критические точки, которые попадают в наш интервал $$[-4; 3]$$:

• $$x_1 = 2$$
• $$x_2 = -3$$

Также нужно проверить значения на концах интервала:

• Левый конец интервала: $$x=-4$$
• Правый конец интервала: $$x=3$$

Шаг 4: Вычисляем значения функции в этих точках

• При $$x=-4$$:

\[ f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) = 2(-64) + 3(16) + 144 = -128 + 48 + 144 = -128 + 192 = 64 \]

• При $$x=-3$$:

\[ f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = 2(-27) + 3(9) + 108 = -54 + 27 + 108 = -27 + 108 = 81 \]

• При $$x=2$$:

\[ f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = 2(8) + 3(4) - 72 = 16 + 12 - 72 = 28 - 72 = -44 \]

• При $$x=3$$:

\[ f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 36(3) = 2(27) + 3(9) - 108 = 54 + 27 - 108 = 81 - 108 = -27 \]

Вывод:

Сравниваем полученные значения:

• $$f(-4) = 64$$
• $$f(-3) = 81$$
• $$f(2) = -44$$
• $$f(3) = -27$$

Таким образом:

• Наименьшее значение функции на интервале $$[-4; 3]$$ равно $$-44$$ (достигается при $$x=2$$).
• Наибольшее значение функции на интервале $$[-4; 3]$$ равно $$81$$ (достигается при $$x=-3$$).

Ответ: Наименьшее значение $$f(x)=-44$$, наибольшее значение $$f(x)=81$$.