2) f(x) = x^4 - 8x^2 + 5, [-3;2]

Привет! Давай найдем наибольшее и наименьшее значения этой функции на заданном интервале.

Анализ функции:

• Функция: $$f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$$
• Интервал: $$[-3; 2]$$

Шаг 1: Находим производную

Производная от $$x^4$$ это $$4x^3$$.

Производная от $$-8x^2$$ это $$-16x$$.

Производная от $$5$$ это $$0$$.

Итак, производная $$f'(x)$$ будет:

\[ f'(x) = 4x^3 - 16x \]

Шаг 2: Находим критические точки

Приравниваем производную к нулю:

\[ 4x^3 - 16x = 0 \]

Выносим общий множитель $$4x$$:

\[ 4x(x^2 - 4) = 0 \]

Это уравнение распадается на два:

1. $$4x = 0 \rightarrow x_1 = 0$$
2. $$x^2 - 4 = 0 \rightarrow x^2 = 4 \rightarrow x_2 = 2, x_3 = -2$$

Шаг 3: Проверяем точки на интервале [-3; 2]

Критические точки, которые попадают в наш интервал $$[-3; 2]$$:

• $$x_1 = 0$$
• $$x_2 = 2$$ (является также правым концом интервала)
• $$x_3 = -2$$

Также нужно проверить значения на концах интервала:

• Левый конец интервала: $$x=-3$$

Шаг 4: Вычисляем значения функции в этих точках

• При $$x=-3$$:

\[ f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 8(9) + 5 = 81 - 72 + 5 = 9 + 5 = 14 \]

• При $$x=-2$$:

\[ f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 5 = 16 - 8(4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -16 + 5 = -11 \]

• При $$x=0$$:

\[ f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 5 = 5 \]

• При $$x=2$$:

\[ f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 5 = 16 - 8(4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -16 + 5 = -11 \]

Вывод:

Сравниваем полученные значения:

• $$f(-3) = 14$$
• $$f(-2) = -11$$
• $$f(0) = 5$$
• $$f(2) = -11$$

Таким образом:

• Наименьшее значение функции на интервале $$[-3; 2]$$ равно $$-11$$ (достигается при $$x=-2$$ и $$x=2$$).
• Наибольшее значение функции на интервале $$[-3; 2]$$ равно $$14$$ (достигается при $$x=-3$$).

Ответ: Наименьшее значение $$f(x)=-11$$, наибольшее значение $$f(x)=14$$.