В единичном кубе А...D₁ найдите расстояние между прямыми AA₁ и BD₁.

Ответ: \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)

• Рассмотрим куб A...D₁.
• AA₁ - ребро куба.
• BD₁ - диагональ куба.
• Проведем перпендикуляр из точки O (середины BD) к AA₁.
• Этот перпендикуляр будет высотой равнобедренного треугольника ABD₁.
• Длина BD = \(\sqrt{2}\), так как это диагональ квадрата.
• Длина AD₁ = \(\sqrt{2}\), так как это диагональ грани.
• Длина BD₁ = \(\sqrt{3}\), так как это диагональ куба.
• Площадь треугольника ABD₁ = \(\frac{1}{2} \cdot AA₁ \cdot d\), где d - расстояние между AA₁ и BD₁.
• Площадь также можно выразить как \(\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h\), где h - высота из A на BD₁.
• Тогда \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
• Отсюда d = \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)