В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, найдите угол D, если известно, что ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 5 : 7. ∠D = ?

Решение:

Вписанный четырёхугольник обладает свойством, что сумма противоположных углов равна 180 градусам. То есть, \( \angle A + \angle C = 180^{\circ} \) и \( \angle B + \angle D = 180^{\circ} \).

По условию, \( \angle A : \angle B : \angle C = 2 : 5 : 7 \). Введём коэффициент пропорциональности \( x \). Тогда:

\( \angle A = 2x \)

\( \angle B = 5x \)

\( \angle C = 7x \)

Используя свойство суммы противоположных углов:

\( \angle A + \angle C = 180^{\circ} \)

\( 2x + 7x = 180^{\circ} \)

\( 9x = 180^{\circ} \)

\( x = \frac{180^{\circ}}{9} = 20^{\circ} \)

Теперь найдём углы:

\( \angle A = 2x = 2 \cdot 20^{\circ} = 40^{\circ} \)

\( \angle C = 7x = 7 \cdot 20^{\circ} = 140^{\circ} \)

Нам нужно найти \( \angle D \). Используем свойство \( \angle B + \angle D = 180^{\circ} \).

Сначала найдём \( \angle B \):

\( \angle B = 5x = 5 \cdot 20^{\circ} = 100^{\circ} \)

Теперь найдём \( \angle D \):

\( \angle D = 180^{\circ} - \angle B \)

\( \angle D = 180^{\circ} - 100^{\circ} \)

\( \angle D = 80^{\circ} \)

Проверка:

\( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 40^{\circ} + 100^{\circ} + 140^{\circ} + 80^{\circ} = 360^{\circ} \) (сумма углов четырёхугольника).

\( \angle A + \angle C = 40^{\circ} + 140^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle B + \angle D = 100^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ} \)

Ответ: 80°.