Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 32, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь четырёхугольника.

Задание №2

Дано:

• Четырёхугольник описанный (есть вписанная окружность).
• Сумма двух противоположных сторон: \( a + c = 32 \).
• Радиус вписанной окружности: \( r = 5 \).

Найти: площадь четырёхугольника \( S \).

Решение:

1. Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность (описанного четырёхугольника), выполняется свойство: сумма противоположных сторон равна. В данном случае, если \( a, b, c, d \) — стороны четырёхугольника, то \( a + c = b + d \).
2. По условию, сумма двух противоположных сторон равна 32. Так как \( a + c = b + d \), то сумма всех четырёх сторон будет \( a + b + c + d = (a+c) + (b+d) = 32 + 32 = 64 \).
3. Также для описанного четырёхугольника справедливо свойство: сумма противоположных сторон равна диаметру вписанной окружности, умноженному на 2. Или, что то же самое, периметр описанного четырёхугольника равен удвоенному произведению радиуса на 2 (для этого нужно вспомнить, что высота каждого из четырёх малых треугольников, на которые можно разбить четырёхугольник, равна радиусу \(r\)).
4. Площадь описанного четырёхугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: \[ S = p \cdot r \], где \( p \) — полупериметр.
5. Периметр \( P = 64 \).
6. Полупериметр \( p = \frac{P}{2} = \frac{64}{2} = 32 \).
7. Теперь находим площадь: \[ S = p \cdot r = 32 \cdot 5 = 160 \].

Ответ: 160.