В четырехугольнике ABCD точка M – середина диагонали AC, а N – середина диагонали BD. Обозначим векторы $$overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a}$$ и $$overrightarrow{CB} = \overrightarrow{b}$$. Выразите вектор $$overrightarrow{MN}$$ через $$overrightarrow{a}$$ и $$overrightarrow{b}$$.

Для решения этой задачи нам потребуется выразить вектор $$overrightarrow{MN}$$ через заданные векторы $$overrightarrow{a}$$ и $$overrightarrow{b}$$. Для начала вспомним, что $$overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DN}$$.

Выразим $$overrightarrow{MD}$$ через известные векторы.

• Т.к. M - середина AC, то $$overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$$.
• $$overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$$.
• $$overrightarrow{DC} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DA}$$.

Следовательно, $$overrightarrow{MC} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC})$$.

Теперь выразим $$overrightarrow{DN}$$:

• N - середина BD, следовательно $$overrightarrow{DN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DB}$$.
• $$overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$$.

Имеем $$overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB})$$.

Т.к. $$overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a}$$ и $$overrightarrow{CB} = \overrightarrow{b}$$, то:

• $$overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} - \frac{1}{2} \overrightarrow{b}$$.

Таким образом, $$overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} - \frac{1}{2} \overrightarrow{b}$$.

Ответ: $$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} - \frac{1}{2} \overrightarrow{b}$$