В амфитеатре 21 ряд, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 25 мест, а в девятом ряду 33 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Эта задача описывает арифметическую прогрессию, где каждый следующий член (количество мест в ряду) больше предыдущего на одно и то же число (разность прогрессии,

\[ d \]

).

1. Находим разность прогрессии (
   
   \[ d \]
   
   ):
   
   У нас есть два члена последовательности:
   
   \[ a_5 = 25 \]
   
   (пятый ряд)
   
   \[ a_9 = 33 \]
   
   (девятый ряд)
   
   
   Разность между девятым и пятым членом равна:
   
   \[ a_9 - a_5 = (a_1 + 9d) - (a_1 + 5d) = 4d \]
   
   Таким образом:
   
   \[ 33 - 25 = 4d \]
   
   \[ 8 = 4d \]
   
   \[ d = 2 \]
   
   Значит, в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем.
2. Находим первый член прогрессии (
   
   \[ a_1 \]
   
   ):
   
   Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии:
   
   \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
   
   
   Для пятого ряда:
   
   \[ a_5 = a_1 + (5-1)d \]
   
   \[ 25 = a_1 + 4 \cdot 2 \]
   
   \[ 25 = a_1 + 8 \]
   
   \[ a_1 = 25 - 8 \]
   
   \[ a_1 = 17 \]
   
   Итак, в первом ряду 17 мест.
3. Находим количество мест в последнем, 21-м ряду (
   
   \[ a_{21} \]
   
   ):
   
   Используем ту же формулу:
   
   \[ a_{21} = a_1 + (21-1)d \]
   
   \[ a_{21} = 17 + 20 \cdot 2 \]
   
   \[ a_{21} = 17 + 40 \]
   
   \[ a_{21} = 57 \]
   

Ответ: 57