Отрезки АС и BD — диаметры окружности с центром в точке О. Угол АСВ равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Эта задача решается с использованием свойств вписанных углов и центральных углов в окружности.

1. Угол ACB — вписанный угол.
   
   Он опирается на дугу AB. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.
   
   Следовательно, величина дуги AB равна:
   
   \[ \text{дуга } AB = 2 \cdot ∠ ACB = 2 \cdot 54° = 108° \]
   
2. Угол AOB — центральный угол.
   
   Он опирается на ту же дугу AB.
   
   Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается.
   
   Следовательно:
   
   \[ ∠ AOB = \text{дуга } AB = 108° \]
   
3. Углы AOD и BOC — вертикальные углы.
   
   Углы AOD и BOC равны, так как они являются вертикальными при пересечении диаметров AC и BD.
   
   \[ ∠ AOD = ∠ BOC \]
   
4. Углы AOB и BOC — смежные углы.
   
   Они образуют развернутый угол AOC (диаметр).
   Сумма смежных углов равна 180°.
   
   \[ ∠ AOB + ∠ BOC = 180° \]
   
   \[ 108° + ∠ BOC = 180° \]
   
   \[ ∠ BOC = 180° - 108° \]
   
   \[ ∠ BOC = 72° \]
   
5. Находим угол AOD.
   
   Так как
   
   \[ ∠ AOD = ∠ BOC \]
   
   (вертикальные углы), то:
   
   \[ ∠ AOD = 72° \]
   

Ответ: 72