5 В 2 см³ объёма при давлении 30 кПа находятся 5. 1019 атомов гелия. Определите среднюю квадратичную скорость атомов. Молярная масса гелия 0,004 кг/моль.

5. Дано: Объём \(V = 2 \text{ см}^3 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3\). Давление \(P = 30 \text{ кПа} = 30 \cdot 10^3 \text{ Па}\). Число атомов \(N = 5 \cdot 10^{19}\). Молярная масса гелия \(M = 0.004 \text{ кг/моль}\). Найти: среднеквадратичную скорость \(v_{rms}\). Решение: Сначала определим концентрацию атомов гелия:

$$n = \frac{N}{V} = \frac{5 \cdot 10^{19}}{2 \cdot 10^{-6}} = 2.5 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$$

Теперь свяжем давление с концентрацией и средней квадратичной скоростью: $$P = \frac{1}{3}nm_0v_{rms}^2$$

где \(m_0\) - масса одного атома гелия. Массу одного атома гелия можно найти, разделив молярную массу на число Авогадро \(N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\ \text{моль}^{-1}\): $$m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{0.004 \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 6.64 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$$

Теперь выразим и рассчитаем среднеквадратичную скорость: $$v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{nm_0}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 30 \cdot 10^3}{2.5 \cdot 10^{25} \cdot 6.64 \cdot 10^{-27}}} = \sqrt{\frac{90 \cdot 10^3}{16.6 \cdot 10^{-2}}} \approx \sqrt{5.42 \cdot 10^6} \approx 2328 \text{ м/с}$$

Ответ: Среднеквадратичная скорость атомов гелия составляет примерно \(2328 \text{ м/с}\).