Решение задачи:

1. Определим, какие года рождения рассматриваются. Поскольку в 2040 году принимают ребят в возрасте от 2 до 19 лет, то года их рождения находятся в диапазоне от 2040 - 19 = 2021 до 2040 - 2 = 2038.
2. Выясним, какие из чисел от 21 до 38 являются квадратами натуральных чисел. Это число 25 ($$5^2 = 25$$) и число 36 ($$6^2 = 36$$). Таким образом, рассматриваются только 2 года рождения: 2025 и 2036.
3. Определим, сколько дней в каждом месяце. Январь - 31 день, Февраль - 28 дней (в невисокосный год) или 29 дней (в високосный год), Март - 31 день, Апрель - 30 дней, Май - 31 день, Июнь - 30 дней, Июль - 31 день, Август - 31 день, Сентябрь - 30 дней, Октябрь - 31 день, Ноябрь - 30 дней, Декабрь - 31 день.
4. Вычислим количество дней в году, которые являются датами, состоящими только из натуральных чисел, являющихся квадратами.

Для 2025 года рождения:

• Дни и месяцы, которые являются квадратами: 1, 4, 9, 16, 25.
• Всего 5 чисел.
• Комбинации: 1 января, 4 января, 9 января, 16 января, 25 января. 1 апреля, 4 апреля, 9 апреля, 16 апреля, 25 апреля. 1 мая, 4 мая, 9 мая, 16 мая, 25 мая. 1 июня, 4 июня, 9 июня, 16 июня, 25 июня. 1 сентября, 4 сентября, 9 сентября, 16 сентября, 25 сентября.
• Итого: 25 дней.

Для 2036 года рождения:

• Аналогично, 5 чисел.
• Итого: 25 дней.

Следовательно, максимальное число юных волшебников, которые могут учиться в Хогвардсе, если никакие двое из них не родились в один день, равно 25 + 25 = 50.

Ответ: 50