2. В Δ ABC AB=BC=8 см, АС=4 см. Найти cos А.

В Δ ABC AB=BC=8 см, АС=4 см. Найти cos А.

По теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$ Подставим известные значения:

$$4^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos B$$ $$16 = 64 + 64 - 128 \cdot \cos B$$ $$16 = 128 - 128 \cdot \cos B$$ $$128 \cdot \cos B = 128 - 16$$ $$128 \cdot \cos B = 112$$ $$\cos B = \frac{112}{128} = \frac{7}{8}$$ Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный, и углы при основании AC равны, то есть ∠A = ∠C.

Сумма углов треугольника равна 180°:

∠A + ∠B + ∠C = 180° 2∠A + ∠B = 180° 2∠A = 180° - ∠B ∠A = (180° - ∠B) / 2 ∠A = 90° - ∠B / 2

Для нахождения cos A, воспользуемся формулой:

cos A = cos (90° - B/2) = sin (B/2)

Теперь нам нужно найти sin (B/2). Для этого воспользуемся формулой:

$$cos B = 1 - 2 sin^2(\frac{B}{2})$$ Подставим известное значение cos B = 7/8:

$$\frac{7}{8} = 1 - 2 sin^2(\frac{B}{2})$$ $$2 sin^2(\frac{B}{2}) = 1 - \frac{7}{8}$$ $$2 sin^2(\frac{B}{2}) = \frac{1}{8}$$ $$sin^2(\frac{B}{2}) = \frac{1}{16}$$ $$sin(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{1}{16}}$$ $$sin(\frac{B}{2}) = \frac{1}{4}$$

cos A = sin (B/2) = 1/4

Ответ: 1/4