Упростите выражение: $$(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{9}y^2)(\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{18}x^2y^2 + \frac{1}{81}y^4) + \frac{1}{729}y^6$$

Для упрощения данного выражения, сначала рассмотрим произведение двух скобок. Заметим, что это произведение является частным случаем формулы разности кубов: $$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$$.

В нашем случае, $$a = \frac{1}{2}x^2$$ и $$b = \frac{1}{9}y^2$$. Тогда, $$a^2 = (\frac{1}{2}x^2)^2 = \frac{1}{4}x^4$$, $$ab = (\frac{1}{2}x^2)(\frac{1}{9}y^2) = \frac{1}{18}x^2y^2$$, и $$b^2 = (\frac{1}{9}y^2)^2 = \frac{1}{81}y^4$$.

Следовательно, произведение скобок можно записать как:

$$ (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{9}y^2)(\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{18}x^2y^2 + \frac{1}{81}y^4) = (\frac{1}{2}x^2)^3 - (\frac{1}{9}y^2)^3 $$

Вычислим кубы:

$$ (\frac{1}{2}x^2)^3 = \frac{1}{8}x^6 $$ $$ (\frac{1}{9}y^2)^3 = \frac{1}{729}y^6 $$

Таким образом, произведение скобок равно:

$$ \frac{1}{8}x^6 - \frac{1}{729}y^6 $$

Теперь добавим к этому результату оставшееся слагаемое: $$\frac{1}{729}y^6$$:

$$ \frac{1}{8}x^6 - \frac{1}{729}y^6 + \frac{1}{729}y^6 = \frac{1}{8}x^6 $$

Итак, упрощенное выражение равно:

Ответ: $$\frac{1}{8}x^6$$