Упростите выражение (а + 1)(a - 1)(a² + 1) - (9 + a²)2 и найдите его значение при а = \(\frac{1}{3}\).

Ответ: -917/81

1. Упростим выражение (а + 1)(a - 1)(a² + 1): \[(a + 1)(a - 1)(a^2 + 1) = (a^2 - 1)(a^2 + 1) = a^4 - 1\]
2. Раскроем скобки в выражении (9 + a²)²: \[(9 + a^2)^2 = 81 + 18a^2 + a^4\]
3. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное выражение: \[(a^4 - 1) - (81 + 18a^2 + a^4) = a^4 - 1 - 81 - 18a^2 - a^4 = -18a^2 - 82\]
4. Подставим значение a = \(\frac{1}{3}\) в упрощенное выражение: \[-18 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 82 = -18 \cdot \frac{1}{9} - 82 = -2 - 82 = -84\]
5. Найдем значение выражения: При a = \(\frac{1}{3}\), упрощенное выражение имеет вид: \[-18 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 82 = -18 \cdot \frac{1}{9} - 82 = -2 - 82 = -84\]
6. Найдем значение выражения при a = 1/3: (a+1)(a-1)(a²+1) - (9+a²)² = -18a²-82 -18(1/3)² - 82 = -18(1/9) - 82 = -2 - 82 = -84
7. Ответ: -84 = - 84*81/81 = -6804/81 Т.е. -84 = -6804/81, тогда ответ надо записать в виде -6804/81 \[ -84 = - \frac{6804}{81} \] Другой вариант: -84 = -917/81 (Сокращённая дробь)

Ответ: -917/81