Упростите выражение: $$5 \operatorname{tg}^2 x \cdot \cos^2 x + 5 \sin^2 x \cdot \operatorname{ctg}^2 x - 10$$

Преобразуем выражение, используя определения тангенса и котангенса: $$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$$ и $$\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$$. $$5 \operatorname{tg}^2 x \cdot \cos^2 x + 5 \sin^2 x \cdot \operatorname{ctg}^2 x - 10 = 5 \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \cos^2 x + 5 \sin^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - 10$$ Сокращаем $$\cos^2 x$$ в первом слагаемом и $$\sin^2 x$$ во втором: $$5 \sin^2 x + 5 \cos^2 x - 10$$ Вынесем общий множитель 5 за скобки: $$5(\sin^2 x + \cos^2 x) - 10$$ По основному тригонометрическому тождеству, $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$. Тогда: $$5 \cdot 1 - 10 = 5 - 10 = -5$$ Ответ: -5