Упростите выражение: $$\left(\frac{a}{a+2n} - \frac{a+2n}{2n}\right) \left(\frac{a}{a-2n} - 1 + \frac{8n^3}{8n^3 - a^3}\right)$$

Для упрощения данного выражения выполним следующие действия:

Шаг 1: Упростим первую скобку:

$$\frac{a}{a+2n} - \frac{a+2n}{2n} = \frac{2na - (a+2n)^2}{2n(a+2n)} = \frac{2na - (a^2 + 4an + 4n^2)}{2n(a+2n)} = \frac{-a^2 - 2an - 4n^2}{2n(a+2n)} = -\frac{a^2 + 2an + 4n^2}{2n(a+2n)}$$

Шаг 2: Упростим вторую скобку:

$$\frac{a}{a-2n} - 1 + \frac{8n^3}{8n^3 - a^3} = \frac{a}{a-2n} - 1 + \frac{8n^3}{(2n-a)(4n^2+2na+a^2)} = \frac{a}{a-2n} - 1 - \frac{8n^3}{(a-2n)(a^2+2an+4n^2)}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{a(a^2+2an+4n^2) - (a-2n)(a^2+2an+4n^2) - 8n^3}{(a-2n)(a^2+2an+4n^2)}$$

Раскроем скобки:

$$\frac{a^3+2a^2n+4an^2 - (a^3+2a^2n+4an^2-2a^2n-4an^2-8n^3) - 8n^3}{(a-2n)(a^2+2an+4n^2)} = \frac{a^3+2a^2n+4an^2 - a^3-2a^2n-4an^2+2a^2n+4an^2+8n^3 - 8n^3}{(a-2n)(a^2+2an+4n^2)} = \frac{2a^2n+4an^2}{(a-2n)(a^2+2an+4n^2)} = \frac{2an(a+2n)}{(a-2n)(a^2+2an+4n^2)}$$

Шаг 3: Перемножим упрощенные выражения из шагов 1 и 2:

$$\left(-\frac{a^2 + 2an + 4n^2}{2n(a+2n)}\right) \left(\frac{2an(a+2n)}{(a-2n)(a^2+2an+4n^2)}\right) = -\frac{(a^2+2an+4n^2) \cdot 2an(a+2n)}{2n(a+2n) \cdot (a-2n)(a^2+2an+4n^2)}$$

Сократим общие множители:

$$-\frac{1}{a-2n} \cdot \frac{2an(a+2n)}{2n(a+2n)} = -\frac{an \cdot 2(a+2n)}{2n(a+2n)(a-2n)} = -\frac{a(a+2n)}{(a+2n)(a-2n)} = -\frac{a}{a-2n} = \frac{a}{2n-a}$$

Ответ: $$\frac{a}{2n-a}$$