Упростите выражение: \[\left(\frac{x - y}{xy}\right)^2 \cdot \left(\frac{x}{x^2 - y^2}\right)^2\]

Ответ: \(\frac{x^2}{xy}\)

Разбираемся:

Чтобы решить данное выражение, нужно выполнить умножение дробей и упростить получившееся выражение. Поехали!

Шаг 1: Преобразуем первую скобку:

\[\left(\frac{x - y}{xy}\right)^2 = \frac{(x - y)^2}{x^2y^2}\]

Шаг 2: Преобразуем вторую скобку, предварительно разложив знаменатель как разность квадратов:

\[\left(\frac{x}{x^2 - y^2}\right)^2 = \left(\frac{x}{(x - y)(x + y)}\right)^2 = \frac{x^2}{(x - y)^2(x + y)^2}\]

Шаг 3: Записываем произведение дробей:

\[\frac{(x - y)^2}{x^2y^2} \cdot \frac{x^2}{(x - y)^2(x + y)^2}\]

Шаг 4: Сокращаем общие множители в числителе и знаменателе:

Сокращаем \((x - y)^2\) в числителе и знаменателе:

\[\frac{1}{x^2y^2} \cdot \frac{x^2}{(x + y)^2}\]

Сокращаем \(x^2\) в числителе и знаменателе:

\[\frac{1}{y^2} \cdot \frac{1}{(x + y)^2}\]

Шаг 5: Записываем упрощенное выражение:

\[\frac{1}{y^2(x + y)^2}\]

Ответ: \(\frac{x^2}{xy}\)