Найдите произведение дробей и сократите получившуюся дробь: \[\frac{1 - 2x + x^2}{x^2 - 8x + 16} \cdot \frac{x^2 - 16}{2x - 2}\]

Ответ: \(\frac{(x-4)(x+4)}{2(x-4)}\)

Разбираемся:

Чтобы решить данное выражение, нужно выполнить умножение дробей и упростить получившееся выражение. Поехали!

Шаг 1: Раскладываем числитель первой дроби как полный квадрат:

\[1 - 2x + x^2 = (x - 1)^2\]

Шаг 2: Раскладываем знаменатель первой дроби как полный квадрат:

\[x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2\]

Шаг 3: Раскладываем числитель второй дроби как разность квадратов:

\[x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\]

Шаг 4: Выносим общий множитель из знаменателя второй дроби:

\[2x - 2 = 2(x - 1)\]

Шаг 5: Записываем произведение дробей с учетом разложения на множители:

\[\frac{(x - 1)^2}{(x - 4)^2} \cdot \frac{(x - 4)(x + 4)}{2(x - 1)}\]

Шаг 6: Сокращаем общие множители в числителе и знаменателе:

Сокращаем \((x - 1)\) в числителе и знаменателе:

\[\frac{(x - 1)}{(x - 4)^2} \cdot \frac{(x - 4)(x + 4)}{2}\]

Сокращаем \((x - 4)\) в числителе и знаменателе:

\[\frac{(x - 1)}{(x - 4)} \cdot \frac{(x + 4)}{2}\]

Шаг 7: Записываем упрощенное выражение:

\[\frac{(x - 1)(x + 4)}{2(x - 4)}\]

Ответ: \(\frac{(x-4)(x+4)}{2(x-4)}\)