10. Упростите числовое выражение 140√2-571-40√2+57.

10. Упростим числовое выражение: $$ \sqrt{|40\sqrt{2}-57|} - \sqrt{40\sqrt{2}+57} $$.

Заметим, что $$40\sqrt{2} \approx 40 \cdot 1.414 = 56.56 $$. Следовательно, $$|40\sqrt{2}-57| = 57 - 40\sqrt{2}$$.

Тогда выражение примет вид: $$ \sqrt{57 - 40\sqrt{2}} - \sqrt{57 + 40\sqrt{2}} $$.

Предположим, что $$ \sqrt{57 - 40\sqrt{2}} = a - b\sqrt{2} $$, тогда $$ (a - b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 - 2ab\sqrt{2} = 57 - 40\sqrt{2} $$.

Получаем систему уравнений: $$ a^2 + 2b^2 = 57, 2ab = 40 $$, откуда $$ ab = 20 $$.

Выразим $$ b = \frac{20}{a} $$, тогда $$ a^2 + 2(\frac{20}{a})^2 = 57 $$, то есть $$ a^2 + \frac{800}{a^2} = 57 $$, или $$ a^4 - 57a^2 + 800 = 0 $$.

Решим квадратное уравнение относительно $$ a^2 $$. $$ D = 57^2 - 4 \cdot 800 = 3249 - 3200 = 49 $$. Тогда $$ a^2 = \frac{57 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{57 \pm 7}{2} $$.

$$ a^2 = \frac{57+7}{2} = \frac{64}{2} = 32 $$ или $$ a^2 = \frac{57-7}{2} = \frac{50}{2} = 25 $$. Значит, $$ a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $$ или $$ a = \sqrt{25} = 5 $$.

Если $$ a = 5 $$, то $$ b = \frac{20}{5} = 4 $$. Если $$ a = 4\sqrt{2} $$, то $$ b = \frac{20}{4\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} $$.

Поскольку мы ищем целые числа, то $$ a = 5 $$ и $$ b = 4 $$. Таким образом, $$ \sqrt{57 - 40\sqrt{2}} = 5 - 4\sqrt{2} $$.

Аналогично, $$ \sqrt{57 + 40\sqrt{2}} = 5 + 4\sqrt{2} $$.

Таким образом, $$ \sqrt{57 - 40\sqrt{2}} - \sqrt{57 + 40\sqrt{2}} = (5 - 4\sqrt{2}) - (5 + 4\sqrt{2}) = -8\sqrt{2} $$.

Так как корень не может быть отрицательным, то $$ \sqrt{|40\sqrt{2}-57|} = 5 - 4\sqrt{2} $$. Но $$ 5 - 4\sqrt{2} < 0 $$.

Поэтому $$ \sqrt{57 - 40\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} - 5 $$, тогда $$ (4\sqrt{2} - 5) - (5 + 4\sqrt{2}) = -10 $$.

В итоге $$ |\sqrt{|40\sqrt{2}-57|} - \sqrt{40\sqrt{2}+57}| = |-10| = 10 $$.

Ответ: 10