Упростить выражения: 1. $$(A \land \overline{B}) \lor \overline{B}$$ 2. $$(\overline{B} \land A) \land \overline{B}$$ 3. $$(A \land \overline{B}) \land (A \land \overline{B})$$ 4. $$(A \land B \land \overline{B}) \lor (A \land \overline{A}) \lor (B \land C \land \overline{C})$$ 5. $$\overline{(A \land \overline{B})} \lor (A \leftrightarrow B)$$ 6. $$\overline{(A \land \overline{B})} \leftrightarrow (A \lor B)$$ 7. $$B \lor (C \land \overline{A}) \lor (A \land B)$$

Решим каждое из выражений, используя законы логики.

1. $$(A \land \overline{B}) \lor \overline{B}$$

   Используем закон поглощения: $$(X \land Y) \lor Y = Y$$

   В нашем случае, $$X = A$$ и $$Y = \overline{B}$$.

   Следовательно, $$(A \land \overline{B}) \lor \overline{B} = \overline{B}$$.

   Ответ: $$\overline{B}$$

2. $$(\overline{B} \land A) \land \overline{B}$$

   Используем коммутативность и ассоциативность: $$(\overline{B} \land A) \land \overline{B} = A \land (\overline{B} \land \overline{B})$$

   Поскольку $$\overline{B} \land \overline{B} = \overline{B}$$, то $$A \land \overline{B}$$.

   Ответ: $$A \land \overline{B}$$

3. $$(A \land \overline{B}) \land (A \land \overline{B})$$

   Поскольку выражение повторяется, результат будет таким же.

   Ответ: $$A \land \overline{B}$$

4. $$(A \land B \land \overline{B}) \lor (A \land \overline{A}) \lor (B \land C \land \overline{C})$$

   Так как $$B \land \overline{B} = ложь$$ и $$A \land \overline{A} = ложь$$ и $$C \land \overline{C} = ложь$$, то выражение упрощается до:

   $$(A \land ложь) \lor (ложь) \lor (B \land ложь)$$

   Это равносильно: $$ложь \lor ложь \lor ложь = ложь$$

   Ответ: Ложь (0)

5. $$\overline{(A \land \overline{B})} \lor (A \leftrightarrow B)$$

   Используем закон де Моргана: $$\overline{(A \land \overline{B})} = \overline{A} \lor B$$

   Используем эквивалентность: $$(A \leftrightarrow B) = (A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A) = (\overline{A} \lor B) \land (\overline{B} \lor A)$$

   Тогда выражение примет вид: $$(\overline{A} \lor B) \lor ((\overline{A} \lor B) \land (\overline{B} \lor A))$$

   Используем закон поглощения: $$X \lor (X \land Y) = X$$. В нашем случае $$X = (\overline{A} \lor B)$$, а $$Y = (\overline{B} \lor A)$$

   Следовательно, $$(\overline{A} \lor B) \lor ((\overline{A} \lor B) \land (\overline{B} \lor A)) = (\overline{A} \lor B)$$

   Ответ: $$\overline{A} \lor B$$

6. $$\overline{(A \land \overline{B})} \leftrightarrow (A \lor B)$$

   Используем закон де Моргана: $$\overline{(A \land \overline{B})} = \overline{A} \lor B$$

   Тогда выражение: $$(\overline{A} \lor B) \leftrightarrow (A \lor B)$$

   Эквивалентность можно расписать как: $$((\overline{A} \lor B) \rightarrow (A \lor B)) \land ((A \lor B) \rightarrow (\overline{A} \lor B))$$

   Это выражение сложно упростить до более простого вида.

   Ответ: $$(\overline{A} \lor B) \leftrightarrow (A \lor B)$$

7. $$B \lor (C \land \overline{A}) \lor (A \land B)$$

   Используем закон поглощения: $$B \lor (A \land B) = B$$

   Тогда выражение: $$B \lor (C \land \overline{A})$$

   Ответ: $$B \lor (C \land \overline{A})$$