Упрощение выражений

1. а) $$\sqrt[5]{a^6b^7} : \sqrt[5]{ab^2}$$

   Используем свойство корней: $$\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}$$

   $$ \sqrt[5]{\frac{a^6b^7}{ab^2}} = \sqrt[5]{a^{6-1}b^{7-2}} = \sqrt[5]{a^5b^5} $$

   Теперь извлечем корень пятой степени:

   $$ \sqrt[5]{a^5b^5} = ab $$

   Ответ: $$ab$$

2. б) $$\frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}$$

   Вынесем общий множитель в числителе. Общий множитель: $$a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}$$

   Представим $$\sqrt{b}$$ и $$\sqrt{a}$$ как $$b^{\frac{1}{2}}$$ и $$a^{\frac{1}{2}}$$

   $$ \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{6}})}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} $$

   Сократим $$(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})$$:

   $$ a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} = (ab)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{ab} $$

   Ответ: $$\sqrt[3]{ab}$$