Укажите правильный ответ. В прямоугольной трапеции ABCD (BC || AD) ∠A – прямой, BC = a, угол BCD в 2 раза больше угла CDA, диагональ BD – биссектриса ∠CDA. Найдите основание AD.

Обозначим угол CDA как $$x$$. Тогда угол BCD равен $$2x$$. Так как диагональ BD – биссектриса угла CDA, то угол BDA также равен $$x$$.

Поскольку BC || AD, углы BCD и CDA являются односторонними, и их сумма равна 180 градусам: $$x + 2x = 180°$$, откуда $$3x = 180°$$, и $$x = 60°$$.

Рассмотрим треугольник ABD. Угол A прямой, а угол BDA равен 60 градусам. Тогда угол ABD равен $$90° - 60° = 30°$$.

Теперь опустим высоту из вершины B на основание AD. Получим прямоугольный треугольник с углом 30 градусов и гипотенузой, равной a. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Обозначим точку пересечения высоты и основания AD как H. Тогда AH = a/2.

Рассмотрим треугольник BDA. $$AD = AH + HD$$. HD равно BC, так как BCHD - прямоугольник. Получается, что $$AD = a/2 + a = 1.5a$$.

Ответ: 1,5a