Углы треугольника АВС относятся так: ∠A: ∠B:∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 8. Найдите длину отрезка МС.

1. Пусть углы равны x, 2x, 3x. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому x + 2x + 3x = 180°, откуда 6x = 180°, x = 30°.

2. Углы треугольника: ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°.

3. Биссектриса BM делит угол B пополам, поэтому ∠ABM = ∠MBC = 30°.

4. В треугольнике ABM: ∠A = 30°, ∠ABM = 30°, следовательно, треугольник ABM равнобедренный, AM = BM = 8.

5. В треугольнике BCM: ∠MBC = 30°, ∠C = 90°. Угол BMC = 180° - 90° - 30° = 60°.

6. По теореме синусов в треугольнике BCM: MC / sin(30°) = BM / sin(90°). MC / (1/2) = 8 / 1. MC = 8 * (1/2) = 4.