Углы треугольника АВС относятся как \(\angle A:\angle B:\angle C=1:2:3\). Биссектриса ВМ угла АВС равна 4. Найдите длину отрезка МС.

Ответ: 4

1. Пусть \(\angle A = x\), \(\angle B = 2x\), \(\angle C = 3x\). Тогда \[x + 2x + 3x = 180^\circ\] \[6x = 180^\circ\] \[x = 30^\circ\] Значит, \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\), \(\angle C = 90^\circ\). Треугольник ABC - прямоугольный.
2. Так как BM - биссектриса угла B, то \(\angle ABM = \angle CBM = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\).
3. Рассмотрим треугольник ABM. \(\angle ABM = \angle A = 30^\circ\), следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и \(AM = BM = 4\).
4. Рассмотрим треугольник BMC. \(\angle MBC = 30^\circ\), \(\angle C = 90^\circ\), следовательно, \(\angle BMC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
5. Поскольку \(\angle MBC = 30^\circ\) и \(\angle BMC = 60^\circ\), а BM = 4, то MC - катет, лежащий против угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике BMC. Значит, MC = BM = 4.

Ответ: 4