Учуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,8 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счету прыжке мячик первый раз не достигнет высоты 15 см?

Решение:

Обозначим высоту первого прыжка как \( h_1 = 4,8 \) м. Высота каждого следующего прыжка в 3 раза меньше предыдущего. Это геометрическая прогрессия с первым членом \( h_1 = 4,8 \) и знаменателем \( q = \frac{1}{3} \).

Формула для n-го члена геометрической прогрессии: \( h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \).

Нам нужно найти такое \( n \), при котором \( h_n < 15 \) см. Сначала переведём метры в сантиметры: \( 4,8 \) м = \( 480 \) см.

Условие задачи: \( h_n < 15 \) см.

\( 480 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 15 \)

Разделим обе части на 480:

\( \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{15}{480} \)

Упростим дробь:

\( \frac{15}{480} = \frac{3 5}{3 160} = \frac{5}{160} = \frac{1}{32} \)

Итак, \( \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{1}{32} \)

Сравним степени:

• При \( n=1 \): \( h_1 = 480 \) см.
• При \( n=2 \): \( h_2 = 480 \cdot \frac{1}{3} = 160 \) см.
• При \( n=3 \): \( h_3 = 160 \cdot \frac{1}{3} = \frac{160}{3} \approx 53,3 \) см.
• При \( n=4 \): \( h_4 = \frac{160}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{160}{9} \approx 17,7 \) см.
• При \( n=5 \): \( h_5 = \frac{160}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{160}{27} \approx 5,9 \) см.

Высота \( h_5 \) меньше 15 см. Значит, первый раз высота меньше 15 см будет при 5-м прыжке.

Ответ: 5