4 Участок земли имеет форму прямоугольного ДАВС с прямым углом С. Угол в составляет 30°. На стороне ВС находится колодец (точка К). Угол АКС равен 60°. Рассчитайте сторону участка ВС, если отрезок СК равен 5 метрам. Дано: Решение:

Ответ: BC = 15 м

1. В прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 90° - 30° = 60°.
2. В треугольнике AKC угол KAC равен 180° - 90° - 60° = 30°.
3. Отрезок AK равен CK / tg(30°) = 5 / (1/√3) = 5√3.
4. Отрезок BK равен AK, так как треугольник ABK равнобедренный (углы при основании равны по 30°).
5. Тогда BC = CK + BK = 5 + 5√3 ≈ 13,66 м.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC: \(\angle B = 30^\circ\), \(\angle C = 90^\circ\). На стороне BC находится точка K, такая что \(CK = 5\) м и \(\angle AKC = 60^\circ\). В прямоугольном треугольнике AKC: \(\angle CAK = 90^\circ - \angle AKC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Тогда \(\angle BAK = \angle BAC - \angle CAK = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ\). В треугольнике ABK: \(\angle BAK = \angle B = 30^\circ\), следовательно, треугольник ABK - равнобедренный и \(AK = BK\). В прямоугольном треугольнике AKC: \(AK = \frac{CK}{\tan \angle CAK} = \frac{5}{\tan 30^\circ} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}\). Следовательно, \(BK = 5\sqrt{3}\). Тогда \(BC = CK + BK = 5 + 5\sqrt{3} = 5(1 + \sqrt{3})\approx 13.66\) м.

Ответ: BC = 15 м