31.33 Турист проплыл на байдарке 15 км против течения реки и 14 км по течению, затратив на всё путешествие столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть по озеру 30 км. Зная, что скорость течения реки равна 1 км/ч, найдите скорость движения туриста по озеру.

Обозначим собственную скорость туриста на байдарке за $$v$$ км/ч, а скорость движения туриста по озеру за $$x$$ км/ч.

Скорость течения реки равна 1 км/ч.

Скорость туриста против течения реки равна $$(v - 1)$$ км/ч, а по течению $$(v + 1)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{15}{v - 1}$$ ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{14}{v + 1}$$ ч.

Общее время в пути по реке равно $$\frac{15}{v - 1} + \frac{14}{v + 1}$$ ч.

Время, затраченное на путь по озеру, равно $$\frac{30}{x}$$ ч.

По условию задачи общее время в пути по реке равно времени в пути по озеру.

Составим уравнение:

$$\frac{15}{v - 1} + \frac{14}{v + 1} = \frac{30}{x}$$

Но мы имеем два неизвестных, т.е. решение неопределенно.

Нужно какое-то дополнительное условие, связывающее $$v$$ и $$x$$.

Если предположить, что скорость туриста на байдарке в стоячей воде и по озеру одна и та же, то $$v = x$$

Тогда:

$$\frac{15}{x - 1} + \frac{14}{x + 1} = \frac{30}{x}$$

Приведем к общему знаменателю и решим:

$$15x(x+1) + 14x(x-1) = 30(x-1)(x+1)$$ $$15x^2 + 15x + 14x^2 - 14x = 30(x^2 - 1)$$ $$29x^2 + x = 30x^2 - 30$$ $$x^2 - x - 30 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{2}$$ $$x = \frac{1 \pm 11}{2}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$x = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Скорость движения туриста по озеру равна 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.