31.36 Пункты А, В и С расположены на реке в указанном порядке вниз по течению. Расстояние между А и В равно 4 км, а между В и С 14 км. В 12 ч из пункта В отплыла лодка и направилась в пункт А. Достигнув пункта А, она сразу же повернула назад и в 14 ч прибыла в пункт С. Скорость течения реки 5 км/ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде.

Обозначим собственную скорость лодки за $$v$$ км/ч.

Расстояние между А и В равно 4 км, а между В и С равно 14 км. Значит, расстояние между А и С равно $$4 + 14 = 18$$ км.

В 12 ч из пункта В отплыла лодка и направилась в пункт А против течения реки. Достигнув пункта А, она сразу же повернула назад и в 14 ч прибыла в пункт С. Таким образом, общее время в пути составило 2 часа.

Скорость течения реки равна 5 км/ч.

Скорость лодки против течения реки равна $$(v - 5)$$ км/ч, а по течению $$(v + 5)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь из В в А, равно $$\frac{4}{v - 5}$$ ч.

Время, затраченное на путь из А в С, равно $$\frac{18}{v + 5}$$ ч.

Составим уравнение:

$$\frac{4}{v - 5} + \frac{18}{v + 5} = 2$$

Разделим обе части на 2:

$$\frac{2}{v - 5} + \frac{9}{v + 5} = 1$$

Приведем к общему знаменателю и решим:

$$2(v + 5) + 9(v - 5) = (v - 5)(v + 5)$$ $$2v + 10 + 9v - 45 = v^2 - 25$$ $$11v - 35 = v^2 - 25$$ $$v^2 - 11v + 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ $$v = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$$ $$v = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 40}}{2}$$ $$v = \frac{11 \pm \sqrt{81}}{2}$$ $$v = \frac{11 \pm 9}{2}$$

Получаем два возможных значения для v: $$v_1 = \frac{11 + 9}{2} = 10$$ и $$v_2 = \frac{11 - 9}{2} = 1$$

Однако, скорость лодки должна быть больше скорости течения реки, чтобы она могла плыть против течения, то есть v > 5.

Следовательно, v = 10 км/ч.

Скорость лодки в стоячей воде равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.