7. Tun 8 № 2563 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СР. Най- дите величину угла А, если DB = 8. а BC =16.

В прямоугольном треугольнике ABC высота CD делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника: ACD и CBD.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме Пифагора:

$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$

$$AC^2 + 16^2 = (8+AD)^2$$

Рассмотрим треугольник CBD.

$$CD^2 + BD^2 = BC^2$$

$$CD^2 + 8^2 = 16^2$$

$$CD^2 = 256 - 64 = 192$$

$$CD = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$$

Рассмотрим треугольник ACD.

$$CD^2 + AD^2 = AC^2$$

$$192 + AD^2 = AC^2$$

Так как треугольники подобны, то $$BC/CD = AB/AC$$

$$16/(8\sqrt{3}) = (8+AD)/AC$$

$$2/\sqrt{3}=(8+AD)/AC$$

$$AC= (8+AD) \sqrt{3} /2$$

Подставим в уравнение

$$192+AD^2 = ((8+AD) \sqrt{3} /2)^2$$

$$192+AD^2 = (8+AD)^2 *3 /4$$

$$192+AD^2 = (64+16AD+AD^2) *3 /4$$

$$768+4AD^2 = 192 + 48AD + 3AD^2$$

$$AD^2 - 48AD + 576 = 0$$

$$D = 48^2 - 4 * 576 = 2304 - 2304 = 0$$

$$AD = 48/2 = 24$$

$$AB = 8 + 24 = 32$$

$$AC = \frac{(8+24)\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$$

$$sin A = BC/AB = 16/32 = 1/2$$

Угол А = 30°.

Ответ: 30°