Цилиндр вписан в правильную треугольную призму со стороной основания 9 см и высотой 9 см. Найдите объём цилиндра.

Краткая запись:

• Сторона основания призмы (a): 9 см
• Высота призмы (h): 9 см
• Найти: Объём цилиндра (V_ц) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим высоту равностороннего треугольника (h_тр) по формуле: \( h_{тр} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
   \( h_{тр} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \) см.
2. Шаг 2: Находим радиус вписанного цилиндра (r). Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник равен \( r = \frac{1}{3}h_{тр} \).
   \( r = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \) см.
3. Шаг 3: Вычисляем объём цилиндра (V_ц) по формуле: \( V_{ц} = \pi r^{2}h \).
   \( V_{ц} = \pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \cdot 9 = \pi \cdot \frac{27}{4} \cdot 9 = \frac{243\pi}{4} \) см³.

Ответ: \(\frac{243\pi}{4}\) см³