53 Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.

Доказательство:

Пусть даны три отрезка A1A2, B1B2 и C1C2, не лежащие в одной плоскости, и имеют общую середину O. Нужно доказать, что плоскости A1B1C1 и A2B2C2 параллельны.

1) О - середина отрезков A1A2, B1B2 и C1C2 (По условию)

2) Следовательно, A1O = OA2, B1O = OB2, C1O = OC2.

3) Рассмотрим треугольники A1B1C1 и A2B2C2.

4) Точка O является центром гомотетии, которая отображает треугольник A1B1C1 в треугольник A2B2C2 с коэффициентом -1.

5) Гомотетия — это преобразование, при котором точки перемещаются вдоль прямых, проходящих через фиксированную точку (центр гомотетии), причем расстояние от центра до каждой точки изменяется в одно и то же число раз (коэффициент гомотетии).

6) Плоскости A1B1C1 и A2B2C2 параллельны, так как треугольники A1B1C1 и A2B2C2 гомотетичны. (Если два треугольника гомотетичны, то их плоскости параллельны.)

Ответ: Доказано, что плоскости A1B1C1 и A2B2C2 параллельны.