24. Точка S - середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника SCD равна половине площади трапеции.

Пошаговое решение:

• Пусть основания трапеции ABCD будут a и b (BC и AD соответственно), а высота трапеции будет h.
• Площадь трапеции ABCD равна \(S_{ABCD} = \frac{a+b}{2}h\).
• Проведем высоту h₁ из точки C к основанию AD, и высоту h₂ из точки C к основанию BC. Тогда h₁ + h₂ = h.
• Площадь треугольника SCD:

\[S_{SCD} = S_{ABCD} - S_{BCS} - S_{ADS}\]\[S_{BCS} = \frac{1}{2}a \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}\]\[S_{ADS} = \frac{1}{2}b \cdot \frac{h}{2} = \frac{bh}{4}\]\[S_{SCD} = \frac{a+b}{2}h - \frac{ah}{4} - \frac{bh}{4} = \frac{2ah + 2bh - ah - bh}{4} = \frac{ah + bh}{4} = \frac{a+b}{4}h\]

• Теперь докажем, что \(S_{SCD} = \frac{1}{2}S_{ABCD}\):

\[\frac{a+b}{4}h = \frac{1}{2} \cdot \frac{a+b}{2}h\]\[\frac{a+b}{4}h = \frac{a+b}{4}h\]

Ч.Т.Д.