24. Точка О — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажи-те, что площадь треугольника АОВ равна половине площади трапеции.

Краткое пояснение: Доказываем равенство площадей треугольника и половины площади трапеции.

Обозначим высоты треугольников AOD, BOC и трапеции ABCD как h1, h2 и h соответственно. Тогда h1 + h2 = h.

Площадь трапеции ABCD равна: S_ABCD = \(\frac{AD + BC}{2} \cdot h\)

Площадь треугольника AOD равна: S_AOD = \(\frac{1}{2} AD \cdot h_1\)

Площадь треугольника BOC равна: S_BOC = \(\frac{1}{2} BC \cdot h_2\)

Площадь треугольника AOB равна: S_AOB = S_ABCD - S_AOD - S_BOC = \(\frac{AD + BC}{2} \cdot h - \frac{1}{2} AD \cdot h_1 - \frac{1}{2} BC \cdot h_2 = \frac{AD \cdot h + BC \cdot h - AD \cdot h_1 - BC \cdot h_2}{2}\)

Так как h = h1 + h2, то:

S_AOB = \(\frac{AD \cdot (h_1 + h_2) + BC \cdot (h_1 + h_2) - AD \cdot h_1 - BC \cdot h_2}{2} = \frac{AD \cdot h_1 + AD \cdot h_2 + BC \cdot h_1 + BC \cdot h_2 - AD \cdot h_1 - BC \cdot h_2}{2} = \frac{AD \cdot h_2 + BC \cdot h_1}{2}\)

С другой стороны, если провести высоту из точки O к основанию AD, то она будет равна h2, а если к основанию BC, то h1, так как O - середина CD.

Тогда площадь треугольника AOB также можно выразить как: S_AOB = \(\frac{1}{2} AD \cdot h_2 + \frac{1}{2} BC \cdot h_1 = \frac{AD \cdot h_2 + BC \cdot h_1}{2}\)

Следовательно, площадь треугольника AOB равна половине площади трапеции ABCD.

Что и требовалось доказать.