Решение:

Пусть $$BK = x$$, $$KC = y$$. Нужно найти отношение $$\frac{BK}{KC} = \frac{x}{y}$$.

По теореме Менелая для треугольника BCM и прямой AEK: $$\frac{BE}{EM} \cdot \frac{MA}{AC} \cdot \frac{CK}{KB} = 1$$

Так как E - середина BM, то $$BE = EM$$, следовательно $$\frac{BE}{EM} = 1$$.

Обозначим медиану BM = m. Площадь треугольника ABM равна площади треугольника CBM, так как BM - медиана. Тогда площадь треугольника ABE равна площади треугольника BME.

Пусть площадь треугольника ABE равна S, тогда площадь треугольника BME тоже равна S.

Площадь треугольника AME равна площади треугольника ABM минус площадь треугольника ABE, т.е. $$\frac{1}{2} S_{ABC} - S$$

А площадь треугольника ABC = 2 * площадь треугольника BMC. Значит площадь треугольника BMC = $$\frac{1}{2}S_{ABC}$$.

Тогда площадь треугольника BME = $$\frac{1}{2}S_{ABC} - S$$

По теореме о площадях треугольников с общим углом: $$\frac{BK}{KC} = \frac{S_{ABK}}{S_{AKC}}$$.

Площадь треугольника ABK относится к площади треугольника ACK как BK к KC.

Отношение $$\frac{BK}{KC} = \frac{1}{2}$$.

Ответ: Отношение, в котором точка K делит отрезок BC, считая от вершины B, равно $$\frac{1}{2}$$.