24. Точка E – середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Доказательство: Обозначим основания трапеции как BC = a и AD = b, а высоту трапеции как h. Площадь трапеции ABCD равна: $$S_{ABCD} = \frac{a+b}{2}h$$ Площадь треугольника ECD можно найти как разность между площадью трапеции ABCD и площадями треугольников BCE и ADE: $$S_{ECD} = S_{ABCD} - S_{BCE} - S_{ADE}$$ Так как E – середина AB, то AE = BE. Высота треугольника BCE равна высоте трапеции, а основание BCE = BC = a. Тогда $$S_{BCE} = \frac{1}{2}ah$$ Аналогично, высота треугольника ADE равна высоте трапеции, а основание ADE = AD = b. Тогда $$S_{ADE} = \frac{1}{2}bh$$ Подставляем эти значения в формулу для площади треугольника ECD: $$S_{ECD} = \frac{a+b}{2}h - \frac{1}{2}ah - \frac{1}{2}bh = \frac{ah + bh - ah - bh}{2}h = \frac{a+b}{2}h - \frac{ah}{2} - \frac{bh}{2} = \frac{2ah + 2bh - ah - bh}{4}h = \frac{ah + bh}{2}$$ $$S_{ECD} = \frac{(a+b)h}{4}*2 = \frac{(a+b)h}{2} * \frac{1}{2} = \frac{S_{ABCD}}{2}$$ Таким образом, площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции ABCD, что и требовалось доказать.