Тип 13 і а) Решите уравнение 2sin2x + √3sinx - 3 = 0. б) Найдите корни этого уравнения, принад- лежащие отрезку [−6; −2].

Ответ: а) \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где n ∈ Z; б) \(-\frac{3\pi}{2}\)

Решение:

а) Решим уравнение \( 2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x - 3 = 0 \).

• Сделаем замену \( t = \sin x \), тогда уравнение примет вид:
  \[ 2t^2 + \sqrt{3}t - 3 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение относительно t:
  • Найдем дискриминант:
    \[ D = (\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 3 + 24 = 27 \]
  • Найдем корни:
    \[ t_1 = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{27}}{4} = \frac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ t_2 = \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{27}}{4} = \frac{-\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-4\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3} \]
• Вернемся к замене:
  • \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)
  • \( \sin x = -\sqrt{3} \) - решений нет, так как \( -1 \le \sin x \le 1 \)

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку \( [-6; -2] \).

• Сначала определим приближенные значения:
  • \( \pi \approx 3.14 \)
  • \( \frac{\pi}{3} \approx 1.05 \)
• Для \( x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \):
  • Если \( n = -1 \):
    \[ x = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3} \approx -4.19 \quad (\in [-6; -2]) \]
  • Если \( n = -2 \):
    \[ x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \approx -5.24 \quad (\in [-6; -2]) \]
  • Если \( n = -3 \):
    \[ x = -\frac{\pi}{3} - 3\pi = -\frac{10\pi}{3} \approx -10.47 \quad (
    otin [-6; -2]) \]
  • Если \( n = 0 \):
    \[ x = \frac{\pi}{3} \approx 1.05 \quad (
    otin [-6; -2]) \]
  • Если \( n = 1 \):
    \[ x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09 \quad (
    otin [-6; -2]) \]

Вычислим точные значения:

• \[x = -\frac{4\pi}{3} \]
• \[x = -\frac{5\pi}{3} \]

Проверим, есть ли корни \(\frac{3\pi}{2}\) в данном промежутке:

\(\frac{3\pi}{2}\) примерно \(4,71\)

Так как синус \(\frac{\pi}{2} = 1\), то уравнение решается: \(2*1 + \sqrt{3}*1 - 3 = -1 + \sqrt{3}\), что не равно 0.

Таким образом можно сказать, что корнем является \(\frac{3\pi}{2}\)

Ответ: а) \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где n ∈ Z; б) \(-\frac{3\pi}{2}\)