11. Тип 3 № 7220 Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 585. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 1 меньше первой.

Ответ: 32

Разбираемся:

Пусть задуманное число имеет вид \[10a + b\], где a - первая цифра, а b - вторая цифра. После перестановки цифр получаем число \[10b + a\].

Сумма квадратов задуманного и полученного чисел равна 585:

\[(10a + b)^2 + (10b + a)^2 = 585\]

Также известно, что вторая цифра на 1 меньше первой:

\[b = a - 1\]

Теперь подставим второе уравнение в первое:

\[(10a + a - 1)^2 + (10(a - 1) + a)^2 = 585\]

\[(11a - 1)^2 + (11a - 10)^2 = 585\]

\[121a^2 - 22a + 1 + 121a^2 - 220a + 100 = 585\]

\[242a^2 - 242a + 101 = 585\]

\[242a^2 - 242a - 484 = 0\]

Разделим на 22:

\[11a^2 - 11a - 22 = 0\]

Разделим на 11:

\[a^2 - a - 2 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[(a - 2)(a + 1) = 0\]

Корни уравнения: a = 2 и a = -1. Так как a - цифра, то a = 2.

Теперь найдем b:

\[b = a - 1 = 2 - 1 = 1\]

Таким образом, задуманное число равно 21.

Ответ: 21