1. Тип 15 № 3957 Путь длиной 39 км первый велосипедист проезжает на 24 минуты дольше второго. Найдите скорость второго велосипедиста, если известно, что она на 2 км/ ч больше скорости первого. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть $$v_1$$ - скорость первого велосипедиста, $$v_2$$ - скорость второго велосипедиста.

Тогда $$v_2 = v_1 + 2$$.

Время, которое тратит первый велосипедист, равно $$\frac{39}{v_1}$$ часов, а второй - $$\frac{39}{v_2}$$ часов.

Из условия задачи известно, что первый тратит на 24 минуты (или $$\frac{24}{60} = \frac{2}{5}$$ часа) больше времени, чем второй.

Составим уравнение:

$$\frac{39}{v_1} - \frac{39}{v_2} = \frac{2}{5}$$

Заменим $$v_2$$ на $$v_1 + 2$$:

$$\frac{39}{v_1} - \frac{39}{v_1 + 2} = \frac{2}{5}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{39(v_1 + 2) - 39v_1}{v_1(v_1 + 2)} = \frac{2}{5}$$ $$\frac{39v_1 + 78 - 39v_1}{v_1^2 + 2v_1} = \frac{2}{5}$$ $$\frac{78}{v_1^2 + 2v_1} = \frac{2}{5}$$

Умножим крест-накрест:

$$2(v_1^2 + 2v_1) = 78 \cdot 5$$ $$2v_1^2 + 4v_1 = 390$$ $$v_1^2 + 2v_1 - 195 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-195) = 4 + 780 = 784$$ $$\sqrt{D} = 28$$ $$v_1 = \frac{-2 \pm 28}{2}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:

$$v_1 = \frac{-2 + 28}{2} = \frac{26}{2} = 13 \text{ км/ч}$$

Тогда скорость второго велосипедиста:

$$v_2 = v_1 + 2 = 13 + 2 = 15 \text{ км/ч}$$

Ответ: 15