2. Тип 15 № 7043 Двое рабочих одновременно начали выполнять два одинаковых заказа, состо- ящих из одинакового количества деталей. Первый рабочий выполнял весь заказ равномерно, изготавливая определённое число деталей в день. Второй сначала из- готавливал на 9 деталей в день больше, чем делал первый рабочий, а когда выпол- нил половину заказа, то стал делать по 30 деталей в день, в результате чего закон- чил работу одновременно с первым. Сколько деталей в день делал первый рабо- чий? Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть x - количество деталей, которое изготавливал первый рабочий в день.

Тогда x + 9 - количество деталей, которое изготавливал второй рабочий в день первоначально.

Пусть N - общее количество деталей в заказе.

Время, которое первый рабочий потратил на выполнение заказа: N/x.

Время, которое второй рабочий потратил на выполнение заказа: (N/2) / (x+9) + (N/2) / 30.

Так как они закончили работу одновременно, имеем уравнение:

$$\frac{N}{x} = \frac{N}{2(x+9)} + \frac{N}{60}$$

Разделим обе части на N (N != 0):

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{2(x+9)} + \frac{1}{60}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x} = \frac{30 + x + 9}{60(x+9)}$$

$$\frac{1}{x} = \frac{x + 39}{60(x+9)}$$

Умножим крест-накрест:

$$60(x+9) = x(x+39)$$ $$60x + 540 = x^2 + 39x$$ $$x^2 - 21x - 540 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 441 + 2160 = 2601$$ $$\sqrt{D} = 51$$ $$x = \frac{21 \pm 51}{2}$$

Так как количество деталей не может быть отрицательным, выбираем положительное значение:

$$x = \frac{21 + 51}{2} = \frac{72}{2} = 36$$

Таким образом, первый рабочий изготавливал 36 деталей в день.

Ответ: 36