18. Тип 17 № 2024 Коля и Ира умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Коля думает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Костя делает так:\frac{4}{2}=\frac{4-2}{2-1}=\frac{2}{1} Ира считает, что нужно от числителя отнять 4, а от знаменателя отнять 3. Ира делает так:\frac{8}{6}=\frac{8-4}{6-3}=\frac{4}{3}. Коля и Ира (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь \frac{2018}{2019} по своим правилам и получили дробь с числителем 1906. Найдите знаменатель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Ответ: 1907

1. Пусть Коля сокращал дробь k раз, а Ира i раз. Тогда k + i = 20.
2. После сокращения числитель стал равен 1906.
3. Коля отнимает от числителя 2, а Ира отнимает 4. Получаем уравнение: \[2018 - 2k - 4i = 1906\]
4. Упростим уравнение: \[2k + 4i = 2018 - 1906\] \[2k + 4i = 112\]
5. Разделим обе части на 2: \[k + 2i = 56\]
6. Выразим k через i: \[k = 56 - 2i\]
7. Подставим это выражение в первое уравнение: \[56 - 2i + i = 20\] \[56 - i = 20\] \[i = 56 - 20 = 36\]
8. Подставим это выражение в первое уравнение: \[i = 36\]
9. Отнимем 16 от i: \[i = 36 - 16 = 20\]
10. Значит, Ира сокращала дробь 16 раз, тогда Коля: k = 20 - 16 = 4.
11. Теперь найдем, что стало со знаменателем. Исходный знаменатель 2019. Коля отнимал 1, а Ира 3. \[2019 - 4 \cdot 1 - 16 \cdot 3 = 2019 - 4 - 48 = 2019 - 52 = 1967\]
12. Получается, что знаменатель равен 1967.

Ответ: 1967