17. Тип 17 № 7268 Найдите значение выражения √88+32√6-2√6.

Пошаговое решение:

1. Сначала упростим выражение под корнем: \[\sqrt{88 + 32\sqrt{6}} - 2\sqrt{6}\]
2. Попытаемся представить подкоренное выражение в виде квадрата суммы: \[\sqrt{(a + b\sqrt{6})^2} = \sqrt{a^2 + 2ab\sqrt{6} + 6b^2}\]
3. Тогда: \[a^2 + 6b^2 = 88\] и \[2ab = 32\]
4. Из второго уравнения выразим a: \[a = \frac{16}{b}\]
5. Подставим в первое уравнение: \[\left(\frac{16}{b}\right)^2 + 6b^2 = 88\] или \[\frac{256}{b^2} + 6b^2 = 88\]
6. Умножим на b²: \[256 + 6b^4 = 88b^2\]
7. Перенесем все в одну сторону: \[6b^4 - 88b^2 + 256 = 0\]
8. Разделим на 2: \[3b^4 - 44b^2 + 128 = 0\]
9. Пусть t = b², тогда: \[3t^2 - 44t + 128 = 0\]
10. Решим квадратное уравнение:
    • D = 44² - 4*3*128 = 1936 - 1536 = 400
    • √D = 20
    • t₁ = (44 + 20) / 6 = 64 / 6 = 32 / 3
    • t₂ = (44 - 20) / 6 = 24 / 6 = 4
11. Если t = 4, то b = 2, тогда a = 16 / 2 = 8
12. Итак, √(88 + 32√6) = 8 + 2√6
13. Исходное выражение: 8 + 2√6 - 2√6 = 8

Ответ: 8